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Policubos matematicas

Policubos matematicas

Diccionario urbano del policubo

En los siglos XX y XXI, muchos problemas de matemáticas, física teórica y química teórica -y, más recientemente, de biología molecular y bioinformática- pueden expresarse como problemas de recuento, en los que se cuentan gráficos específicos, o formas.

Una clase muy especial de formas es la de los polígonos. Se trata de caminos cerrados y conectados en el espacio. Solemos dibujarlos en dos dimensiones, pero pueden existir en cualquier dimensión. Las preguntas típicas que se hacen son “¿cuántos hay de un perímetro determinado?”, “¿cuál es el tamaño medio de un polígono de un perímetro determinado?”, y las correspondientes preguntas sobre el área o el volumen encerrado. Es decir, “¿cuántos encierran un área determinada?” y “¿cuál es el tamaño medio de un polígono de área determinada?”. Aunque estas preguntas son sencillas de plantear, son extraordinariamente difíciles de responder. Son preguntas importantes por la aplicación de los polígonos, y de los problemas relacionados con el recuento de poliominós y policubos, a fenómenos que ocurren en el mundo natural, y también porque el estudio de estos problemas ha sido responsable del desarrollo de nuevas y poderosas técnicas en matemáticas y física matemática, así como en informática. Estas nuevas técnicas encuentran luego una aplicación más amplia.

Volumen de un teseracto

Un policubo es una figura sólida formada por la unión de uno o más cubos iguales cara a cara. Los policubos son los análogos tridimensionales de los poliominós planos. El cubo de Soma, el cubo de Bedlam, el cubo diabólico, el rompecabezas de Slothouber-Graatsma y el rompecabezas de Conway son ejemplos de problemas de empaquetamiento basados en policubos[1].

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Al igual que los poliominós, los policubos pueden enumerarse de dos maneras, dependiendo de si los pares quirales de policubos se cuentan como un policubo o como dos. Por ejemplo, 6 tetracubos tienen simetría especular y uno es quiral, lo que da un recuento de 7 u 8 tetracubos respectivamente[2] A diferencia de los poliominós, los policubos se suelen contar distinguiendo los pares especulares, ya que no se puede dar la vuelta a un policubo para reflejarlo como se puede hacer con un poliominó en tres dimensiones. En particular, el cubo de Soma utiliza las dos formas del tetracubo quiral.

Al igual que los poliominós, los policubos pueden clasificarse según el número de simetrías que tengan. Las simetrías de los policubos (clases de conjugación de subgrupos del grupo octaédrico quiral) fueron enumeradas por primera vez por W. F. Lunnon en 1972. La mayoría de los policubos son asimétricos, pero muchos tienen grupos de simetría más complejos, hasta el grupo de simetría completo del cubo con 48 elementos. Son posibles otras numerosas simetrías; por ejemplo, hay siete formas posibles de simetría de 8 pliegues [2].

Tesseract vs hipercubo

El policubo objetivo se consigue mediante la adición sucesiva de 3 capas ortogonales de cubos unitarios a las caras del policubo inicial. El número de cubos unitarios añadidos en cada capa sucesiva toma los valores e^2, e*(e+1) y (e+1)^2, completándose cada capa por completo antes de comenzar la siguiente.

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Esto es así porque el primer cubo unitario añadido en cada capa añadirá una superficie de 4 al policubo anterior, lo que es mayor que mantener el nuevo cubo unitario en la capa actual, donde aseguramos que el área aumentará en 2 como máximo.

A excepción del primer cubo colocado en cada capa, que aumentará la superficie del policubo anterior en 4, podemos contar 2 incrementos de superficie para los cubos unitarios colocados en las posiciones dadas por la función de la secuencia de los cuartos de cuadrado + 1 (es decir, A033638 = A002620 + 1, que establecen las ubicaciones de los giros en ángulo recto en la espiral del cuadrado de Ulam).

Una secuencia infinita de policubos con superficie mínima se aproxima entre pares de policubos sucesivos con forma cúbica y valores de aristas (e) y (e+1), que tienen respectivamente volúmenes de policubos e^3 y (e+1)^3 y superficies mínimas 6e^2 y 6(e+1)^2.

Hipercubo 4d

El título casi lo dice todo: ¿cuál es el menor número de cubos que se pueden fusionar cara a cara en un poliedro que no llene el espacio? El más pequeño que me parecía seguro de no rellenar era 9: siete en un anillo al que le faltaba una “esquina”, más uno por encima de uno de los cubos “centrales” de este anillo, y un último fusionado a ese, colocado por encima del agujero del anillo. Entonces parecía que no había forma de rellenar el agujero del anillo con otra copia de este policubo — pero EDIT: como Georgios señala en un comentario a su respuesta, en realidad se puede entrelazar un par de estos para obtener un compuesto simplemente conectado. Así que el más pequeño realmente obvio sin relleno es un decacubo, que consiste en un anillo de 8 con dos unidos a un cubo del medio para “tapar” el agujero.

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Pero no me sorprendería que hubiera un octacubo o un heptacubo no rellenador, y si es así, sospecho que es bien conocido por algunos. Sin embargo, no consigo encontrar una referencia, aunque la respuesta a la pregunta correspondiente para los poliominós en 2D es fácil de encontrar, por ejemplo, MathWorld señala que todos los heptominós menos cuatro forman un mosaico en el plano, al igual que todos los poliominós más pequeños.

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